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En este artículo hablaremos del Método de Mínimos Cuadrados el cuál nos permite aproximar una función a un conjunto de datos obtenidos de manera experimental. El método fue desarrollado por Carl Friedrich Gauss cuando aún era muy joven y aunque parece que fue publicado hasta el año de 1809, ya en 1801 había sido usado para describir la trayectoria del planeta Ceres.

Este método se usa en una gran variedad de disciplinas para crear modelos en base a conjuntos de datos recabados a partir de mediciones por ejemplo: en geología se usa para modelar terrenos en base a las mediciones de latitud, longitud y altitud realizadas en distintos puntos, en ecología se utiliza para modelar la producción de nutrientes de una planta y en negocios, para modelar la fluctuación estacional de las ventas de un producto.

 

Para comprender el método, hace falta recordar algunos conceptos de algebra lineal los cuales listamos a continuación: 

  • Ecuación matricial \({A\bf{x=b}}\)
  • Espacio Columna
  • Longitud de un vector y distancia entre dos vectores
  • Producto interno y Ortogonalidad
  • Proyecciones y Descomposición Ortogonal

 

Ecuación matricial Ax=b

Recordemos que un sistema de ecuaciones lineales se puede ver como una ecuación vectorial donde los coeficientes del lado izquierdo de la ecuación y las cantidades del lado derecho se consideran vectores columna y las incógnitas, los términos escalares que al multplicarlos por los vectores del lado izquierdo de la ecuación permitan que el resultado de su suma sea igual al vector resultante. En otras palabras, se debe encontrar una combinación lineal de los vectores de la izquierda que de como resultado el vector de la derecha.

El sistema de ecuaciones se puede escribir en términos de la multiplicación de una matriz \(A\) por un vector columna \({\bf{x}}\) que de como resultado un vector \({\bf{b}}\) (\(A{\bf{x=b}}\)). La matriz \(A\) contiene coeficientes y el vector \({\bf{x}}\) las incógnitas que queremos encontrar para que al ser multiplicado por la matriz \(A\) nos de como resultado el vector \({\bf{b}}\).

 

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