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El objetivo de este artículo es dar una pequeña introducción más bien práctica a las Series de Fourier explicando paso a paso un ejemplo muy sencillo.

 

Una expansión trigonométrica de una función f(x) está dada por una sumatoria o serie del tipo:

 

Esta serie puede ser finita o infinita.

 

Las expansiones trigonométricas surgieron en el siglo 18 durante estudios de vibración de cuerdas y otros fenómenos similares pero no fueron tratadas de una manera sistemática sino hasta que, en 1808, Jospeh Fourier escribió "Théorie Analytique de la Chaleur" (Teoría Analítica del Calor), donde realizó un estudio detallado de las series trigonométricas las cuales utilizó para resolver varios problemas relacionados con la conducción de calor. Su trabajo fue controversial en su momento y, aún después de dos siglos, las series de Fourier son importantes, tanto práctica como teóricamente y siguen siendo objeto de investigación.

 

Existen diversas razones para expandir una señal como una serie trigonométrica. Por ejemplo, si f(t) es una señal como podría ser la música que emite un instrumento musical, la descomposición de la función en la serie nos da las frecuencias de los componentes que forman la señal.

 

 

En este ejemplo t es la variable independiente y se refiere al tiempo. Una señal como 2sin(t) -50sin(3t) +10sin(200t) tiene componentes que vibran a 1, 3 y 200 veces por período. Por los coeficientes podemos ver que el que predomina es50sin(3t).

 

Una tarea común en el análisis de señales es la eliminación del ruido de alta frecuencia. Un enfoque para llevar esto acabo es expresar la señal como una serie trigonométrica y poner a cero los coeficientes de las frecuencias altas.

 

 Otra tarea es la compresión de datos. Aquí el enfoque puede ser, expresar la función en términos de una expansión trigonométrica y conservar solo aquellos términos cuyos coeficientes sean mayores que algún umbral de tolerancia.

  

Pues bien empecemos con el aspecto práctico. Una serie de Fourier está dada por:

 

 

 

El objetivo es encontrar a0, ak y bpara sustituirlas en la expresión anterior. 

 

ak y bestán definidas por:

 

 

 para k = 0,1,2,…, n.

 para k = 1,2,…, n.

 

(Nota:Para fines de este artículo estamos considerando sólo intervalos de -pi a pi).

 

 

Ya que en la serie, el coeficiente aestá dividido entre 2, podemos abreviar su cálculo expresándolo de la siguiente forma:

 

 

Por lo que se puede utilizar directamente para calcular a:

 

 

 

Si queremos utilizar esta última definición, se tendría que modificar la serie para que no dividiera entre 2 el coeficiente a, ya que nosotros lo acabamos de hacer, del siguiente modo:

 

 

 

Esta última forma es la que estaremos utilizando en los ejercicios presentados.

 

 

 

Resumiendo, nuestra serie de Fourier y sus coeficientes estarían dados por:

 

 

Antes de comenzar, a modo de simplificar los posibles cálculos requeridos durante la expansión de una función en su serie de Fourier, es bueno recordar a las funciones pares e impares y sus respectivas integrales.

 

Una función par es aquella que cumple con la condición de f(x) = f(-x). Esto quiere decir que el valor de f(x) es el mismo para x o -x.

 

Por ejemplo, la función x2 o cualquier función elevada a una potencia múltiplo de 2 es par.

 

Si f(x)=x2, entonces, para verificar si es par, basta con evaluar por ejemplo f(2) = 4 y f(-2) = 4.

 

Por el contrario, una función impar cumple con la condición de que f(-x) = -f(x)x3 o elevado a cualquier potencia impar son ejemplos de funciones impares.

Para verificarlo podemos evaluar f(x)=x3 con x=2 f(-2)=-8 y f(2)=8 por lo que –f(2)=-8.

 

Gráficamente se puede interpretar como se muestra en las siguientes imágenes:

 

Función Par

 

Función Impar

 

Ahora bien, hay que tener en cuenta que la multiplicación de dos funciones:

  • Par y Par = Función Par
  • Par e Impar = Función Impar
  • Impar e Impar = Función Par

 

Todo esto es importante ya que existen dos teoremas que indican que la integral para el intervalo [-a,a] es 0 para las funciones impares y, para las pares, es igual a 2 veces la integral de [0,a].

Sabiendo que seno es impar y coseno es par, esto quiere decir que podemos simplificar nuestros cálculos si nuestra funcíón a expandir es par o impar. Si es par, podemos dar por hecho que bk será cero y simplemente calcular ak o viceversa, si nuestra función es impar, podemos dar por hecho que ak será 0 y simplemente calcular bk.

 

Ahora bien, haremos un ejemplo sencillo para ilustrar el proceso de expansión en su serie trigonométrica para la función f(x)=x2 en el intervalo de [-pi,pi].

 

1.-Empezamos por encontrar a0:

2.- Ahora encontramos ak:

Para resolver estas integrales sólo hay que recordar la fórmula para la integración por partes:

Por último, como sabemos que nuestra función es par, entonces sabemos que bk es cero.

 

Por lo que tenemos que:

 

Sustituyendo, tenemos que nuestra serie está dada por:

 

Si quisieramos encontrar los 4 primeros términos tendríamos que la serie estaría dada por:

Sabiendo que coseno de cualquier múltiplo par de pi es 1 y de cualquier múltipo non de pi es -1:

 

Por último dejo aquí el código de Matlab para la gráfica de x2 y para los primeros 4 términos de la serie de Fourier:

 

 x = -pi:0.1:pi; 
%x^2
y1 = x.^2;
y2 = (1/3)*pi.^2 - 4* cos(x)+ cos(2*x) - (4/9) * cos(3*x)
figure(1);
plot(x,y1);
hold on;
plot(x,y2,'--');
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
legend('x','S4(x)');
hold off;
grid on;

 

 

Gráfica de xy los primeros 4 términos de su Serie de Fourier

 

Pues bien, ya que no se trataron casos para períodos distintos a pi (aunque en realidad es casi lo mismo) ni se tocaron los teoremas de convergencia ni demás, considero que esta es una introducción muy sencilla al tema pero bueno, espero la encuentren útil.

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